antiderivadas

Anti derivadas

El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: anti derivada.

Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o anti derivada.

Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de anti derivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.

A la hora de hablar de anti derivadas intervienen más elementos como son los llamados máximos y mínimos que básicamente son las alturas a la que llega la curva trazada de una función, la cual puede ser cóncava. Otros de los elementos a mencionar son: la monotonía, valores extremos de una función.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son anti derivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una anti derivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

• Concepto.
• Propiedades.
• Reglas de integración.
• Integrales inmediatas.
• Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

• Uso de tablas.
• Integración de funciones trigonométricas sencillas.
• Integración de funciones racionales sencillas.

PROPIEDADES DE LAS ANTI DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

PRIMERA PROPIEDAD:

Si F(x) es una anti derivada de 1(x) y C una constante cualquiera (un número), Ia función F(x) + C
es otra anti derivada de 1(x).
Demostración:

Basta recordar que Ia derivada de una suma de funciones es igual a Ia suma de Ias derivadas de
j,4. funciones, y que Ia derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) ÷ C)’ = F’(x) + C’ = 1(x) + O = 1(x)
EJERCICIO:

. Encontrar tres anti derivadas de Ia función cos x.
Solución:
Se sabe que sen x es una anti derivada de cos x.
Tres anti derivadas de cos x son, por ejemplo,

SEGUNDA PROPIEDAD:

Si una función tiene una anti derivada. entonces tiene infinitas anti derivadas.
Demostración:
Si F(x) es una anti derivada de 1(x), para cualquier constante C, F(x) ÷ C es otra anti derivada
según Ia anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C.

TERCERA PROPIEDAD:

Dos anti derivadas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x)
son primitivas de Ia función 1(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función 1(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero
En todos los puntos, entonces Ia función 1(x) es constante. Es decir, si 1’(x) = O, entonces 1(x) =
C.

Tabla de las anti derivadas.

Vídeo de apoyo: