Problemas de calculo diferencial

1. Considérese una gráfica de Ia temperatura en grados Centígrados, C, en función de la temperatura en grados Fahrenheit, l, y suponga que esta gráfica es una Línea recta. Se conoce que 100°C y 2 12°F corresponden a la temperatura a la cual hace ebullición el agua. Similarmente, 0°C y 32°F corresponden al punto de congelación del agua.

a) ¿A qué temperatura en grados Fahrenheit corresponde 20°C?

b) ¿A qué temperatura cii grados Ceutgraðos corresponde 100° 1”?

e) ¿Qué temperatura, tiene el mismo valor en grados Fahrenheit y en Centígrados?

2.Un  aeroplano utiliza una cantidad fija de combustible para despegar, una cantidad fija (diferente) para aterrizar, y una cantidad fija (diferente) por milla cuando está en el aire. ¿Cómo depende la cantidad total de combustible requerido, de Ia longitud del viaje? Escribir una fórmula para Ia función involucrada. Explicar el significado de Ias constantes que aparecen en Ia fórmula.

3.Un número N(p) de calculadoras que puede vender tina compañía manufacturera a un precio de p pesos por unidad, está dado por N(p) = 500/p2.

Encontrar N(p) e interpretar el resultado.

4. Un equipo médico de investigación estableció que Ia masa M(t) de un tumor, como función del tiempo t al cual el paciente es expuesto a radiación durante el tratamiento, esta dado por

en donde M(t) está en miligramos y t en segundos. Debido al mal funcionamiento de los aparatos utilizados es imposible exponer al paciente exactamente por 3 segundos de terapia de radiación. ¿Qué valor debe asignarse M(3), fin de que M(t) sea. una función continua?.

5. Para pequeños cambios de temperatura, a fórmula para la expansión de una varilla metálica sujeta a un cambio de temperatura es :

,

en donde I es la longitud del objeto a la temperatura t, lo es Ia longitud inicial a Ia temperatura Io, y a es una constante que depende del tipo de metal.

a) Expresar I como una función lineal de t. Encontrar Ia pendiente y la intersección con el eje Y.

b) Supóngase que se tuvo una varilla con longitud inicial de 100 cm a 60°F fabricada con un metal para el cual a es igual a 10^-5. ¿Qué longitud tendrá a los 150°F?

6- La compañía 2-K el robo perfecto tiene capacidad para producir de 0 a 250 refrigeradores diarios. Los gastos fijos de la planta son de $2400, el material y mano de obra para producir un refrigerador es de $155, escriba una fórmula para el costo total de producir X refrigeradores al dia.

7- La relación entre la temperatura Farenheit F y la temperatura Celsius C está dada por F 32 + C. Si el rango de temperaturas en cierto día va de la mínima 70°F a la máxima de 90°F, ¿Cuál es el rango de la temperatura en grados Celsius?

8- Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de petróleo. Por cada nuevo pozo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada uno disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del campo petrolero en función del número x de pozos nuevos que se perforan.

9- Se determinó que en 1940, la densidad de población a t millas del centro de la ciudad de Nueva York era aproximadamente 120 e-0.2t miles de personas por milla cuadrada. Estime el número de personas que vivían en 1940, dentro de un radio de 2 millas del centro de la ciudad.

10. Existen ciertos tipos de células que se reproducen por el fenómeno llamado de bipartición (“se dividen en dos”) a intervalos de tiempo periódicos.

a) Suponiendo que usted empieza a observar la división de una de tales células en cierto momento, exprese el numero de células presentes en función del número de intervalos de tiempo transcurridos.

b) Si en la segunda división y en ias restantes una de las células reproducidas muere, exprese el número. ...

Limite

Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.


Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.


La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.


El hecho que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.


Cuando una función f(x) toma valores muy próximos a L cada vez que tomamos una x suficientemente cerca de x0 se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:

Ejemplo:

• Estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

           Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

• Resolver el limite solución

   

antiderivadas

Anti derivadas

El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: anti derivada.

Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o anti derivada.

Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de anti derivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.

A la hora de hablar de anti derivadas intervienen más elementos como son los llamados máximos y mínimos que básicamente son las alturas a la que llega la curva trazada de una función, la cual puede ser cóncava. Otros de los elementos a mencionar son: la monotonía, valores extremos de una función.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son anti derivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una anti derivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

• Concepto.
• Propiedades.
• Reglas de integración.
• Integrales inmediatas.
• Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

• Uso de tablas.
• Integración de funciones trigonométricas sencillas.
• Integración de funciones racionales sencillas.

PROPIEDADES DE LAS ANTI DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

PRIMERA PROPIEDAD:

Si F(x) es una anti derivada de 1(x) y C una constante cualquiera (un número), Ia función F(x) + C
es otra anti derivada de 1(x).
Demostración:

Basta recordar que Ia derivada de una suma de funciones es igual a Ia suma de Ias derivadas de
j,4. funciones, y que Ia derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) ÷ C)’ = F’(x) + C’ = 1(x) + O = 1(x)
EJERCICIO:

. Encontrar tres anti derivadas de Ia función cos x.
Solución:
Se sabe que sen x es una anti derivada de cos x.
Tres anti derivadas de cos x son, por ejemplo,

SEGUNDA PROPIEDAD:

Si una función tiene una anti derivada. entonces tiene infinitas anti derivadas.
Demostración:
Si F(x) es una anti derivada de 1(x), para cualquier constante C, F(x) ÷ C es otra anti derivada
según Ia anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C.

TERCERA PROPIEDAD:

Dos anti derivadas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x)
son primitivas de Ia función 1(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función 1(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero
En todos los puntos, entonces Ia función 1(x) es constante. Es decir, si 1’(x) = O, entonces 1(x) =
C.

Tabla de las anti derivadas.

Vídeo de apoyo:

Derivada

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

La derivada de una constante es cero.

DERIVADA DE "X"

La derivada de x es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.

DERIVADA DE UNA POTENCIA

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

DERIVADA DE UNA RAÍZ

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

 

DERIVADA DE UNA RAÍZ CUADRADA

DERIVADA DE UNA SUMA 

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

DERIVADA DE UN PRODUCTO 

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN 

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

 

DERIVADA DE UNA CONSTANTE PARTIDA POR UNA FUNCIÓN